Desigualdades.
Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita
La expresión| a |  | b, |
Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:porque 5 - 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:porque -9 -0 = -9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;
Ejemplo:porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
Sentido de una desigualdad.
Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.Desigualdades absolutas y condicionales.
Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella
Ejemplo:Desigualdades condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:
Ejemplo:que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.
Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.
Propiedades de las desigualdades.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:
Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente
Ejemplos:
| 9 > 5 9 + 2 > 5 + 2 11 > 7 | -2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5 > -9 |
Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:
6x -4x > 4 + 2
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:
Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:
Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad
Ejemplos:
| 12 > 7 12 * 3 > 7 * 3 36 > 21 | 15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 3 > -5 |
3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:
Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,
Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.
Ejemplos:
| 3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60 | 64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) -16 > -20 |
Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.
Ejemplo:
7x - 130 > -9 + 5x
4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.
Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:
Ejemplo:
73 < 103
343 < 1000
5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.
Sea la desigualdad -a < -ba) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:
En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:
b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:
Ejemplos:
| -3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216 | -8 < -4 (-8)2 > (-4)2 64 > 16 |
6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.
Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"Se puede escribir:
a' = b' + c'
a" = b" + c"
a + a' + a" > b + b' + b"
Ejemplo:
se obtiene: 9x > 36
7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.
Sean las desigualdades a > b y c < dInvirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene
d > c
a + d > b +c
Restando d + c de cada miembro, resulta:
Ejemplo:
se obtiene: 2x < -4
