HOMOMORFISMO LIC.BRAULIO CACERES

Homomorfismos

Definición 1.10: Sean G y H dos grupos. Una aplicación  se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si

Para todo a de G.

Es claro que sí  y  son homomorfismos entonces  es un homomorfismo.

Teorema 1.11: Sean G y H dos grupos y  un homomorfismo. Se cumple que

1.   si 1_G y 1_H son las identidades de G y H, respectivamente, entonces f(1_G) = 1_H;

2.   si  entonces f(a ^{− 1}) = f(a) ^{− 1}.

Demostración: En efecto, pues, lo que implica f (1_G) = 1_H. Además, f(a ^{− 1}) f(a) = f(a ^{− 1}a) =f (1_G) = 1_H, luego f(a ^{− 1}) = f(a) ^{− 1}.

Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo G en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo G en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos G y H se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por. Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para G respecto de su operación de grupo vale también para H respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista G y H sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico G y H son el mismo objeto.

Sea G un grupo. Denotaremos por  al conjunto de todos los automorfismo del grupo G. Puede probarse que AutG es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.

Definición 1.12: Sean G y H dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El núcleo de f se define como el conjunto

Donde 1_H es la identidad de H.

Teorema 1.13: Sean G y H dos grupos cualesquiera. La aplicación  es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y.

Demostración: Si  es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento a de G tal que f(a) = 1_H, y por el teorema 1.11, ese elemento es 1_G, de modo que kerf = {1_G}. Recíprocamente, si kerf = {1_G} y f(a) = f (b), entonces 1_H = f(a) f (b) ^{− 1} = f(a)f(b ^{− 1}) =f(ab ^{− 1}), lo que implica , luego ab ^{− 1} = 1_G y así a = b, por lo que f es inyectiva y con ello un monomorfismo.

El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo f entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso f es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).

Subgrupos

Definición 1.14: Sea G un grupo. Se dice que H es un subgrupo de G, hecho que se representa por, si  y si H es él mismo un grupo respecto de la operación de G.

Es claro que la identidad de H es la misma que la identidad de G, pues éste es el único elemento a de G que cumple aa = a. También los inversos de los elementos de H son los mismos en H que en G.

Todo grupo G tiene al menos dos subgrupos, a saber, G mismo y el grupo {1}, llamado subgrupo trivial de G, que sólo contiene a la identidad de G. Cualquier otro subgrupo de G distinto de G y {1} se dice subgrupo propio de G.

Teorema 1.15: Sea G un grupo y  con H no vacío. Entonces  si y sólo si  para cualesquiera g y h deH.

Demostración: La implicación es obvia. Si H es un subconjunto no vacío de G tal que  para todo, entonces, en particular,  (el elemento g existe, pues H es no vacío). Luego también. Además, puesto que, la operación binaria de G es también operación binaria en H, lo que demuestra que H es un subgrupo de G.

Si  es un homomorfismo de grupos entonces kerf es un subgrupo de G. En efecto, pues si, entonces

Por lo que, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que.

He aquí otros dos hechos, aún más básicos, a cerca de subgrupos:

1.   Si  y, entonces.

2.   Si  y, entonces.

Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.

Un subgrupo propio M de un grupo G se dice subgrupo maximal de G si  implica H = G o H = M para cualquiera que sea el conjunto H.

Subgrupos normales

Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, no es cierto en general que aH = Ha, aunque claramente esto sí sucede cuando G es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo G que cumplen esto mismo sin necesidad de que G sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.

Definición 1.29: Sea G un grupo y N un subgrupo de G. Se dice que N es normal en G si

Para todo a de G. Este hecho lo representaremos por.

Equivalentemente tenemos que  si y sólo si

Tenemos pues que si, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo N coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente (G / N). Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.

Teorema 1.30: Sea G un grupo y . Entonces (G / N) es un grupo, llamado grupo cociente de G por N, con la operación de grupo dada por

Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en (G / N) dada por aNbN = abN tiene sentido, es decir, que si  y, entonces abN = a'b'N. Esto es así, pues

(ab) − 1a'b' = b − 1a − 1a'b' = b − 1a − 1a'(bb − 1)b' = b − 1(a − 1a')b(b − 1b')

Con  y  (pues  y), así es que (ab) ^{− 1}a'b' = b ^{− 1}n₁bn₂, pero como, también, luego, y entonces, lo que prueba que abN =a'b'N. Hemos probado que la operación definida en (G / N) tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de (G / N) es N, y el inverso de todo aN de (G / N) es a ^{− 1}N. Con esto queda probado que (G / N) es un grupo.

Si  es un homomorfismo de grupos, entonces. En efecto, pues si  y, entonces

Luego, así que  para todo a de G, luego podemos cambiar a por a ^{− 1} y así tener que, luego para todo n de kerf se tiene

Lo que demuestra que, completando la prueba de que.

Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos f es un subgrupo normal del dominio de f. Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo G es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es G.

Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si N es un subgrupo normal de G, la aplicación

Es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que  si y sólo si, i.e. si y sólo si, tenemos que.

Sea G un grupo y, y defínanse los conjuntos

Llamaremos normalizador de S al conjunto

Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si  (i.e. si aS = Sa y bS = Sb) entonces también, y que además  y.

Si H es un subgrupo de G, entonces claramente. Más aún, N_H es el mayor subgrupo de G en el cual H es normal. En otras palabras,

Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si G es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto S de G. A este conjunto se le llama centralizador de S, y lo denotaremos por C_S. Así pues,

Notar que

1.   ;

2.    equivale a decir que G es abeliano.

 

Clases laterales

Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.

Nos serán útiles los conceptos siguientes:

Definición 1.24: Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Diremos que dos elementos a y b de G son congruentes por la izquierda módulo H sí. Este hecho lo representaremos por. Similarmente, a y b serán congruentes por la derecha si, y lo denotaremos por .

Las relaciones de congruencia módulo un subgrupo H por la izquierda y por la derecha son relaciones de equivalencia. Probaremos esto para el caso de la relación. Si G es un grupo y, entonces, pues, luego  es reflexiva. Si, entonces también, pero (a ^{− 1}b) ^{− 1} = b ^{− 1}a, de modo que  y  es simétrica. Si  y, entonces también, y como (a ^{− 1}b) (b ^{− 1}c) = a ^{− 1}c, tenemos que, y con ello  es transitiva. Esto prueba que la relación de congruencia módulo H es una relación de equivalencia.

Tenemos entonces que, si G es un grupo y, las relaciones de congruencia  y  definen cada cual una partición del grupo G en clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento a de G por la relación de congruencia módulo H por la izquierda es el conjunto

Efectivamente, pues si b es uno de los elementos de la clase de equivalencia de a por esta relación de congruencia, es decir, a ^{− 1}b = h para cierto h de H, lo que equivale a que b = ah. Similarmente se prueba que la clase de equivalencia de un elemento a de G por la relación de congruencia módulo H por la derecha es el conjunto

.

Llamaremos clase lateral izquierda de a y clase lateral derecha de a según el subgrupo H a los conjuntos aH y Ha, respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales aH (con) lo representaremos por, mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales Ha lo representaremos por 

Tanto aH como Ha tienen cardinal igual a | H |, pues, por ejemplo, la aplicación

Es claramente biyectiva, luego | aH | = | H |. Más aún, también es cierto que

La prueba de esto es que la aplicación  dada por

f(aH) = Ha − 1

Está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.

Anillo

En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto; de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1)

El ejemplo más intuitivo de un anillo es el conjunto de los números enteros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

Junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación. La razón por la cual estas tres cosas forman un anillo, es porque cumplen con las siguientes propiedades:

1.    Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.

2.    La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).

3.    Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.

4.    Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.

5.    La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.

6.    Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.

7.    La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).

8.    Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.

9.    La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

 

Definición formal

Sea A un conjunto no vacío perteneciente al conjunto, y sean  y  dos operaciones binarias. Se dice que el conjunto  es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1.	A es cerrado bajo la operación.
2.	La operación  es asociativa.
3.	La operación  tiene a n como elemento neutro.
4.	Existe un elemento simétrico para.

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5.

La operación  es conmutativa.

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6.	A es cerrado bajo la operación.
7.	La operación  es asociativa.
8.	La operación  es distributiva respecto de.

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9.

La operación  es conmutativa.

Anillo unitario

Un anillo  (no necesariamente conmutativo) es anillo unitario, o anillo unital, o anillo con unidad si existe un elemento en R, diferente del neutro para la suma, que es elemento neutro para la operación producto ("·") del anillo, razón por la cual a dicho elemento se le denomina elemento unidad y se le representa por "1". A un anillo unitario se le suele representar como una cuaterna, en la que los primeros tres elementos representan al anillo (el conjunto, la operación respecto de la cual es grupo abeliano, y la otra operación que es distributiva respecto de la primera) y el cuarto representa al elemento unidad. En nuestro caso sería.

En un anillo unitario existen:

1.   Elementos invertibles por la izquierda: un elemento x del anillo es invertible por la izquierda (también se dice que x es una unidad por la izquierda del anillo, no confundir con el elemento unidad) si existe un elemento  de manera que ;

1.   Elementos invertibles por la derecha: un elemento x del anillo es invertible por la derecha (también se dice que x es una unidad por la derecha del anillo, no confundir con el elemento unidad) si existe un elemento  de manera que ;

1.   Elementos invertibles: un elemento x del anillo es invertible si es invertible (también se dice que x es una unidad del anillo, no confundir con el elemento unidad) por la derecha e invertible por la izquierda.

El elemento unidad de un anillo es invertible, luego es invertible por la izquierda e invertible por la derecha.

Al conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario R se le denota por U(R).

Si en un anillo unitario tomamos un ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) y hay un elemento invertible que pertenece al ideal, entonces el ideal coincide con el anillo. En particular, en un anillo unitario, el elemento unidad 1 nunca pertenece a los ideales propios.

Un homomorfismo de anillos unitarios es una aplicación  entre los anillos unitarios  y tal que verifica que es homomorfismo de anillos (esto es, si  entonces f(a + b) = f(a) + f(b) y ) y que la imagen del elemento unidad es el elemento unidad (es decir, f(1_R) = 1_S).

Si establecemos un homomorfismo de anillos  entre un anillo unitario  y un anillo , entonces ha de ocurrir que , con lo cual la imagen del elemento unidad ha de ser un idempotente.

Una importante propiedad de los anillos unitarios es que en todo anillo unitario existen ideales maximales, es decir, ideales (biláteros) propios en el anillo de manera que no existe otro ideal (bilátero) propio que lo contenga.

Los anillos unitarios son los anillos sobre los que se construyen los módulos.

 

Anillo conmutativo

En teoría de anillos (una rama del álgebra abstracta), un anillo conmutativo es un anillo (R, +, ·) en el que la operación de multiplicación · es conmutativa; es decir, si para cualesquiera a, b ∈ R, a·b = b·a.

Si adicionalmente el anillo tiene un elemento unitario 1 tal que 1a = a = a1 para todo a, entonces el anillo se denomina anillo conmutativo unitario.

La rama de la teoría de anillos que estudia los anillos conmutativos se denomina álgebra conmutativa.

Ejemplos

El ejemplo más importante es tal vez el de los números enteros con las operaciones usuales de suma y multiplicación, ambas conmutativas. Este anillo usualmente se denota por Z, por la palabra alemana Zahlen (números).

Los números racionales, reales, y complejos forman anillos conmutativos con las operaciones usuales; más aún, son campos.

Más generalmente, todo campo es un anillo conmutativo por definición.

El mejor ejemplo de un anillo no conmutativo es el conjunto de matrices cuadradas de 2×2 con valores reales. Por ejemplo, la multiplicación matricial

Da un resultado distinto que si se invierte el orden de los factores:

Si n > 0 es un entero, el conjunto Z_n de enteros módulo n forma un anillo conmutativo con n elementos.

Si R es un anillo conmutativo, el conjunto de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevo anillo conmutativo, denotado por R[X].

El conjunto de números racionales de denominador impar forma un anillo conmutativo, estrictamente contenido en el anillo Q de los racionales, y que contiene propiamente al Z de los enteros.

 

Propiedades

Si f: R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).

Si f: R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.

Cuerpo

En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

 

Definición

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto F en el que se han definido dos operaciones, + y ., llamadas suma y multiplicación respectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:

F es cerrado para la suma y la multiplicación

Para toda a, b en F, a + b y a * b pertenecen a F (o más formalmente, + y * son operaciones matemáticas en F);

Asociatividad de la suma y la multiplicación

Para toda a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c.

Conmutatividad de la suma y la multiplicación

Para toda a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a.

Existencia de un elemento neutro para la suma y la multiplicación

Existe un elemento 0 en F, tal que para todo a en F, a + 0 = a.

Existe un elemento 1 en F diferente a 0, tal que para todo a en F, a * 1 = a.

Existencia de elemento opuesto y de inversos

Para cada a en F, existe un elemento -a en F, tal que a + (- a) = 0.

Para cada a ≠ 0 en F, existe un elemento a ^-1 en F, tal que a * a^-1 = 1.

Distributividad de la multiplicación respecto de la suma

Para toda a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (F, +) y (F - { 0 }, *) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría de grupos) el opuesto -a y el inverso a^-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:

(A*b)^-1 = a^-1 * b^-1

Con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen

-a = (-1) * a

Y más generalmente

- (a * b) = (-a) * b = a * (-b)

Así como

a * 0 = 0,

Todas reglas familiares de la aritmética elemental.

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